역행렬과 급수 수렴

문제

1. $A =\begin{bmatrix}
 1& 2 \\
 3& 4 \\
\end{bmatrix}$ 의 역행렬을 구하시오

 

 

 

2. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$ 가 수렴하는지, 발산하는지 판별하시오

 

 

 

풀이

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1번

 

1. 역행렬 공식

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}\begin{bmatrix}
 d& -b \\
 -c& a \\
\end{bmatrix}$

 

2. det(A)=(4)(1)-(3)(2) =-2

 

$\therefore A^{-1}= \frac{1}{-2}\begin{bmatrix}
 4& -3 \\
 -2& 1 \\
\end{bmatrix}$

 

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2번

 

1. $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n+1} -\frac{1}{n}$ 이다.

2. $n \rightarrow \infty $일 때 $ \frac{1}{n+1} -\frac{1}{n}$는 $(\frac{1}{2}-\frac{1}{1})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{2})+ \cdots $ 이다.

3. 결국 첫번 째 항의 $\frac{1}{1}$과 마지막 항의 0만 남는다.

 

$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)} = 1$ 에 수렴한다.