개발자를 위한 수학 Day1

선형대수 (행렬 - 컴퓨터 그래픽스 변환)

 

컴퓨터 그래픽스에서 점 (x,y)을 회전시키기 위해 2D 회전 행렬이 사용된다.
2D 회전 행렬은 다음과 같다.

 

$R(90^{ \theta })$ = $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin \theta \\ \sin\ \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$

점 P=(1,0)을 $90^{\circ}$ 회전시켰을 때 새로운 좌표 P'를 구하시오.

 

 

확률과 통계 (베이즈 정리 - 머신러닝 기초)

어떤 질병이 전체 인구의 1%에서 발생한다고 가정하자.
이 질병을 검사하는 테스트는 양성일 때 95%의 정확도, 음성일 때 90%의 정확도를 가진다.
즉,

• 질병이 있을 때, 검사 결과가 양성일 확률 P($T^{+}$∣D)=0.95
• 질병이 없을 때, 검사 결과가 음성일 확률 P($T^{−}$∣¬D)=0.90

한 사람이 검사에서 양성 결과를 받았을 때, 실제로 질병이 있을 확률 $P(D∣T^{+})$을 구하시오.

 

 

해석학 (이산 수학 - 알고리즘 분석)

알고리즘의 시간 복잡도를 분석할 때, 다음과 같은 조화급수(Harmonic Series) 가 등장한다.

​$H_{n} = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$

이 급수가 O(log n)  에 해당하는지 보이기 위해,

$H_{n}\approx \int_{1}^{n}\frac{1}{x}dx $

를 계산하고, 이를 비교하여 조화급수의 점근적(Asymptotic) 성질을 설명하시오.

 

 

 

 

 

 

풀이

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회전 행렬

 

회전 행렬 $R(90^{\circ})$ = $\begin{bmatrix} \cos\frac{\pi}{2} & -\sin\frac{\pi}{2} \\ \sin\frac{\pi}{2} & \cos\frac{\pi}{2} \end{bmatrix}$

이고 $\cos\frac{\pi}{2}$ =0, $\sin\frac{\pi}{2}$=1 이므로

$R(90^{\circ})=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$  이다

$
P' = R(90^{\circ}) \cdot P =
\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
$

,즉 $ \therefore$ P' =(0,1)

 

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베이즈 정리

B가 발생했을 때 A가 발생할 확률

$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

 

• 질병이 있을 확률: P(D) = 0.01
• 질병이 없을 확률: $P(\neg D)$ = 0.99
• 질병이 있을 때 양성일 확률: P(T^{+}|D) = 0.95
• 질병이 없을 때 양성일 확률: $P(T^{+}|\neg D)$ = 1 -0.90 = 0.10

$ P(D \mid T^+) = \frac{P(T^+ \mid D) P(D)}{P(T^+)} $

 

이 때$P(T^{+})$ = $P(T^{+}|D)P(D)$ + $P(T^{+}|\neg D)P(\neg D)$

 

$\therefore P(D|T^{+}) \approx  0.0876$

 

 

 

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조화급수와 로그 함수 관계

 

y = ln x의 역함수는 $e^{y} =x$

여기서 양변을 x에 대해 미분하면

1. $\frac{d}{dx}e^{y} = \frac{d}{dx}x$ 

2. $\frac{dy}{dx}e^{y} =1$

3. $e^{y}$는 x이므로 \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \)

4. 즉 $\frac{dy}{dx}$ =$ \frac{d}{dx}y = \frac{1}{x} $

 

​$H_{n} = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \approx \int_{1}^{n}\frac{1}{x}dx $

$ \int_{1}^{n} \frac{1}{x}dx = \ln n - \ln 1 = \ln n $

$ \therefore H_n \approx \ln n $