개발자를 위한 수학 Day3

1. 확률과 통계 (베르누이 시행 - 머신러닝 기초)
어떤 확률 변수 ( X ) 가 베르누이 분포(Bernoulli Distribution) 를 따른다고 하자.
즉, ( X ) 는 성공(1) 또는 실패(0) 두 가지 값만 가질 수 있으며,
성공 확률이 ( p ), 실패 확률이 ( 1 - p ) 이다.

베르누이 확률 변수의 기댓값(Expectation) ( E(X) ) 과 분산(Variance) ( Var(X) ) 을 구하시오.

 

2. 해석학 (무한 급수 - 수렴 여부 판별)
다음 급수가 수렴하는지, 발산하는지 판별하시오.

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}
$$

수렴한다면, 어떤 테스트를 이용하여 수렴을 보일 수 있는지 설명하시오.

 

 

 

풀이

---

 

 

1. 베르누이 시행

베르누이 확률 변수 ( X ) 는 성공(1) 또는 실패(0) 만 가질 수 있다.
즉, ( P(X = 1) = p ), ( P(X = 0) = 1 - p ) 가 성립한다.

 

📌 기댓값(Expectation)
$$
E(X) = \sum X P(X)
$$
즉,
$$
E(X) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p
$$

 

📌 분산(Variance)
분산의 정의:
$$
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2
$$
여기서 베르누이 확률 변수에서는 ( X^2 = X ) 이므로,
$$
E(X^2) = E(X) = p
$$
따라서,
$$
Var(X) = p - p^2 = p(1 - p)
$$

 

 

2. 무한 급수

주어진 급수:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}
$$

1. 교대급수 테스트(Alternating Series Test) 적용

이 급수는 교대급수(Alternating Series) 형태이므로,
교대급수 테스트를 사용하면 수렴 여부를 판단할 수 있다.

교대급수 테스트는 두 가지 조건을 만족해야 한다.

• (1) 절댓값이 단조 감소:
  $$ b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} $$
  은 ( n ) 이 증가할수록 감소한다. ✅
• (2) 극한이 0으로 수렴:
  $$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0 $$
  따라서 수렴한다! ✅

 

교대급수 테스트를 적용할 때 확인해야 할 극한은 절댓값이 아닌 원래의 항을 고려할 필요가 없다.

즉, 교대급수 테스트에서는 절댓값을 취한 부분인

$$ b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} $$ ​

에 대해 $$ \lim_{n\to\infty} \rightarrow b_{n} = 0 $$ 를 확인하면 충분